ब्राचिस्टोक्रोन वक्र: 18 कदम (चित्रों के साथ)

2024 लेखक: John Day | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-30 09:20

ब्रैचिस्टोक्रोन वक्र एक क्लासिक भौतिकी समस्या है, जो दो बिंदुओं ए और बी के बीच सबसे तेज़ पथ प्राप्त करती है जो अलग-अलग ऊंचाई पर हैं। यद्यपि यह समस्या सरल लग सकती है, यह एक प्रति-सहज परिणाम प्रदान करती है और इस प्रकार देखने में आकर्षक है। इस निर्देश में व्यक्ति सैद्धांतिक समस्या के बारे में जानेंगे, समाधान विकसित करेंगे और अंत में एक मॉडल का निर्माण करेंगे जो भौतिकी के इस अद्भुत सिद्धांत के गुणों को प्रदर्शित करता है।

यह परियोजना हाई स्कूल के छात्रों के लिए डिज़ाइन की गई है क्योंकि वे सिद्धांत कक्षाओं में संबंधित अवधारणाओं को कवर कर रहे हैं। यह व्यावहारिक परियोजना न केवल विषय पर उनकी समझ को मजबूत करती है बल्कि विकसित करने के लिए कई अन्य क्षेत्रों का संश्लेषण भी प्रदान करती है। उदाहरण के लिए, मॉडल का निर्माण करते समय, छात्र स्नेल के नियम, कंप्यूटर प्रोग्रामिंग, 3डी मॉडलिंग, डिजिटल फ्रैब्रिकेशन और बुनियादी वुडवर्किंग कौशल के माध्यम से प्रकाशिकी के बारे में जानने जा रहे हैं। यह एक पूरी कक्षा को कार्य को आपस में बांटने में योगदान करने की अनुमति देता है, जिससे यह एक टीम प्रयास बन जाता है। इस परियोजना को बनाने में लगभग एक सप्ताह का समय लगता है और फिर इसे कक्षा या छोटे छात्रों को प्रदर्शित किया जा सकता है।

एसटीईएम के माध्यम से सीखने का कोई बेहतर तरीका नहीं है, इसलिए अपना खुद का काम करने वाला ब्राचिस्टोक्रोन मॉडल बनाने के लिए आगे बढ़ें। यदि आप परियोजना को पसंद करते हैं तो कक्षा प्रतियोगिता में इसके लिए वोट करें।

चरण 1: सैद्धांतिक समस्या

ब्रैचिस्टोक्रोन समस्या वह है जो दो बिंदुओं ए और बी को जोड़ने वाले वक्र को खोजने के लिए घूमती है जो अलग-अलग ऊंचाई पर हैं, जैसे कि बी सीधे ए से नीचे नहीं है, ताकि इस पथ के साथ एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के प्रभाव में एक संगमरमर को छोड़ दिया जाए जितनी जल्दी संभव हो सके B तक पहुंचें। यह समस्या 1696 में जोहान बर्नौली द्वारा प्रस्तुत की गई थी।

जब जोहान बर्नौली ने जून १६९६ को एक्टा एरुडिटोरम के पाठकों से ब्राचिस्टोक्रोन की समस्या पूछी, जो यूरोप की जर्मन-भाषी भूमि की पहली वैज्ञानिक पत्रिकाओं में से एक थी, तो उन्हें ५ गणितज्ञों से उत्तर मिले: आइजैक न्यूटन, जैकब बर्नौली, गॉटफ्राइड लाइबनिज, एहरनफ्राइड वाल्थर वॉन त्सचिर्नहॉस और गिलाउम डी ल'हॉपिटल प्रत्येक के पास अद्वितीय दृष्टिकोण हैं!

चेतावनी: निम्नलिखित चरणों में उत्तर शामिल हैं और इस सबसे तेज़ पथ के पीछे की सुंदरता को प्रकट करते हैं। इस समस्या के बारे में सोचने और सोचने के लिए कुछ समय निकालें, हो सकता है कि आप इन पांच प्रतिभाओं में से एक की तरह ही इसे सुलझा सकें।

चरण 2: प्रदर्शित करने के लिए स्नेल के नियम का उपयोग करना

ब्राचिस्टोक्रोन समस्या को हल करने के तरीकों में से एक है, स्नेल के नियम के साथ सादृश्य बनाकर समस्या से निपटना। स्नेल के नियम का उपयोग उस पथ का वर्णन करने के लिए किया जाता है जो फ़र्मेट के सिद्धांत का उपयोग करते हुए दो अलग-अलग मीडिया के माध्यम से संक्रमण करते समय प्रकाश की किरण एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक पहुंचने के लिए अनुसरण करेगा, जो कहता है कि प्रकाश की किरण हमेशा सबसे तेज मार्ग लेगी। इस समीकरण की औपचारिक व्युत्पत्ति निम्नलिखित लिंक पर जाकर पाई जा सकती है।

चूंकि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के प्रभाव में एक मुक्त-गिरने वाली वस्तु की तुलना बदलते मीडिया के माध्यम से प्रकाश की किरण से की जा सकती है, हर बार जब प्रकाश की किरण एक नए माध्यम से मिलती है, तो बीम थोड़ा विचलित हो जाता है। इस विचलन के कोण की गणना स्नेल के नियम का उपयोग करके की जा सकती है। जैसे-जैसे प्रकाश की विचलित किरण के सामने घनत्व कम करने की परतें जोड़ना जारी रहता है, जब तक कि किरण महत्वपूर्ण कोण तक नहीं पहुंच जाती, जहां किरण बस परावर्तित हो जाती है, बीम का प्रक्षेपवक्र ब्राचिस्टोक्रोन वक्र का वर्णन करता है। (ऊपर चित्र में लाल वक्र)

ब्राचिस्टोक्रोन वक्र वास्तव में एक चक्रज है जो एक गोलाकार पहिया के रिम पर एक बिंदु द्वारा पता लगाया गया वक्र है क्योंकि पहिया बिना फिसले एक सीधी रेखा के साथ लुढ़कता है। इस प्रकार यदि हमें वक्र खींचने की आवश्यकता है तो इसे उत्पन्न करने के लिए ऊपर दी गई विधि का उपयोग कर सकते हैं। वक्र की एक और अनूठी विशेषता यह है कि वक्र के किसी भी बिंदु से छोड़ी गई गेंद को नीचे तक पहुंचने में ठीक उतना ही समय लगेगा। निम्नलिखित चरण एक मॉडल की रचना करके कक्षा में प्रयोग करने की प्रक्रिया का वर्णन करते हैं।

चरण 3: व्यावहारिक प्रयोग मॉडल

मॉडल में लेसरकट पथ होते हैं जो मार्बल्स के लिए ट्रैक के रूप में कार्य करते हैं। यह प्रदर्शित करने के लिए कि ब्रैचिस्टोक्रोन वक्र बिंदु A से B तक का सबसे तेज़ पथ है, हमने इसकी तुलना दो अन्य पथों से करने का निर्णय लिया। जैसा कि कुछ लोगों को सहज रूप से लगेगा कि सबसे छोटा हिस्सा सबसे तेज़ है, हमने दोनों बिंदुओं को दूसरे रास्ते के रूप में जोड़ने वाली सीधी ढलान लगाने का फैसला किया। तीसरा एक खड़ी वक्र है, क्योंकि किसी को लगेगा कि अचानक गिरावट बाकी को हरा देने के लिए पर्याप्त गति उत्पन्न करेगी।

दूसरा प्रयोग जिसमें गेंदों को तीन ब्राचिस्टोक्रोन पथों पर अलग-अलग ऊंचाइयों से छोड़ा जाता है, जिसके परिणामस्वरूप गेंदें एक ही समय पर पहुंचती हैं। इस प्रकार हमारे मॉडल में 3डी प्रिंटेड गाइड हैं जो ऐक्रेलिक पैनलों के बीच आसान इंटरचेंजबिलिटी प्रदान करते हैं जिससे दोनों प्रयोग किए जा सकते हैं।

अंत में रिलीज तंत्र यह सुनिश्चित करता है कि गेंदों को एक साथ गिराया जाता है और नीचे का समय मॉड्यूल समय को रिकॉर्ड करता है क्योंकि गेंद नीचे तक पहुंचती है। इसे प्राप्त करने के लिए हमने तीन सीमा स्विच एम्बेड किए हैं जो गेंदों के ट्रिगर होने पर सक्रिय होते हैं।

नोट: कोई भी इस डिज़ाइन को आसानी से कॉपी कर सकता है और इसे कार्डबोर्ड या अन्य सामग्रियों से बना सकता है जो आसानी से उपलब्ध हैं

चरण 4: आवश्यक सामग्री

ब्रैचिस्टोक्रोन प्रयोग का एक कार्यशील मॉडल बनाने के लिए यहां पुर्जे और आपूर्ति दी गई है

हार्डवेयर:

1 "पाइन वुड प्लैंक - आयाम; 100cm गुणा 10cm

नियोडिमियम मैग्नेटक्स 4 - आयाम; 1cm व्यास और 0.5cm ऊंचाई में

3डी प्रिंटिंग फिलामेंट- पीएलए या एबीएस ठीक हैं

M3 थ्रेडेड इंसर्ट x 8 - (वैकल्पिक)

M3 बोल्ट x 8 - 2.5cm लंबा

लकड़ी का पेंच x 3 - 6 सेमी लंबा

लकड़ी का पेंच 12 - 2.5 सेमी लंबा

इलेक्ट्रॉनिक्स:

Arduino Uno

सीमा स्विचएक्स 4- ये स्विच टाइमिंग सिस्टम के रूप में कार्य करेंगे

दबाने वाला बटन

एलसीडी प्रदर्शन

जम्पवायर x अनेक

मॉडल की कुल लागत लगभग 3 0$. थी

चरण 5: 3डी प्रिंटिंग

रिलीज मैकेनिज्म और कंट्रोल बॉक्स जैसे कई हिस्सों को 3डी प्रिंटर की मदद से बनाया गया था। निम्नलिखित सूची में भागों की कुल संख्या और उनके मुद्रण विनिर्देश शामिल हैं। सभी एसटीएल फाइलें ऊपर संलग्न एक फ़ोल्डर में प्रदान की जाती हैं, जिससे यदि आवश्यक हो तो उनमें आवश्यक संशोधन करने की अनुमति मिलती है।

नियंत्रण बॉक्स x 1, 20% infill

गाइड x ६, ३०% infill

एंड स्टॉप x १, २०% इन्फिल

पिवट आर्म x १, २०% infill

पिवट माउंट x १, ३०% infill

रिलीज टुकड़ा x १, २०% infill

भागों को पीएलए में मुद्रित किया गया था क्योंकि टुकड़ों पर अभिनय करने वाला कोई विशेष तनाव नहीं है। कुल मिलाकर इसकी छपाई में लगभग 40 घंटे लगे।

चरण 6: लेजर पथ काटना

फ़्यूज़न 360 पर हमारे द्वारा डिज़ाइन किए गए विभिन्न पथों को.dxf फ़ाइलों और फिर लेज़र-कट के रूप में निर्यात किया गया था। हमने कर्व्स बनाने के लिए 3 मिमी की मोटाई वाले अपारदर्शी सफेद ऐक्रेलिक को चुना। कोई इसे हाथ के औजारों से लकड़ी से भी बना सकता है लेकिन यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि चुनी गई सामग्री कठोर हो क्योंकि लचीलापन प्रभावित कर सकता है कि गेंद कैसे लुढ़कती है।

6 एक्स ब्राचिस्टोक्रोन वक्र

2 एक्स खड़ी वक्र

2 एक्स सीधे वक्र

चरण 7: लकड़ी काटना

मॉडल का फ्रेम लकड़ी से बना है। हमने 1 "बाय 4" पाइन चुना क्योंकि हमारे पास पिछली परियोजना से कुछ शेष था, हालांकि कोई अपनी पसंद की लकड़ी का उपयोग कर सकता है। एक गोलाकार आरी और एक गाइड का उपयोग करके हमने लकड़ी के दो टुकड़े लंबाई में काटे:

48cm जो पथ की लंबाई है

31cm जो ऊंचाई है।

हमने डिस्क सैंडर पर हल्के से सैंड करके खुरदुरे किनारों को साफ किया।

चरण 8: छेदों की ड्रिलिंग

दो टुकड़ों को एक साथ पेंच करने से पहले, नीचे के टुकड़े के एक छोर पर लकड़ी की मोटाई को चिह्नित करें और तीन समान छेदों को केंद्र में रखें। हमने लकड़ी के दोनों टुकड़ों पर एक पायलट छेद बनाने के लिए 5 मिमी बिट का उपयोग किया और स्क्रू हेड को फ्लश में चलाने की अनुमति देने के लिए नीचे के टुकड़े पर छेद को उलट दिया।

नोट: सावधान रहें कि लकड़ी के ऊर्ध्वाधर टुकड़े को विभाजित न करें क्योंकि एक अंत अनाज में ड्रिलिंग करेगा। लंबे लकड़ी के शिकंजे का भी उपयोग करें क्योंकि यह महत्वपूर्ण है कि फ्रेम हिलता नहीं है और उत्तोलन के कारण शीर्ष पर है।

चरण 9: हीट-सिंक और मैग्नेट को एम्बेड करना

चूंकि 3डी प्रिंटेड भागों में धागे समय के साथ खराब हो जाते हैं, इसलिए हमने हीट-सिंक को एम्बेड करने का निर्णय लिया। प्लास्टिक को हीट-सिंक की बेहतर पकड़ की अनुमति देने के लिए छेद थोड़े कम आकार के होते हैं। हमने M3 हीट-सिंक को छेदों के ऊपर रखा और उन्हें टांका लगाने वाले लोहे की नोक से अंदर धकेल दिया। गर्मी प्लास्टिक को पिघला देती है, जिससे दांत अपने आप अंदर आ जाते हैं। सुनिश्चित करें कि वे सतह से फ्लश कर रहे हैं और लंबवत रूप से चले गए हैं। थ्रेडेड इंसर्ट के लिए कुल 8 स्पॉट हैं: ढक्कन के लिए 4 और Arduino Uno को माउंट करने के लिए 4।

टाइमिंग यूनिट को माउंट करने की सुविधा के लिए, हमने बॉक्स में मैग्नेट को एम्बेड किया है, जिससे कभी भी बदलाव की आवश्यकता होने पर इसे अलग करना आसान हो जाता है। जगह में धकेलने से पहले चुम्बकों को उसी दिशा में उन्मुख करने की आवश्यकता होती है

चरण 10: सीमा स्विच संलग्न करना

तीन सीमा स्विच टाइमिंग यूनिट के एक तरफ से जुड़े होते हैं जो पथ के नीचे का सामना करते हैं। इस प्रकार जैसे ही गेंदें स्विच पर क्लिक करती हैं, कोई यह निर्धारित कर सकता है कि कौन सी गेंद पहले पहुंची और एलसीडी डिस्प्ले पर समय प्रदर्शित किया। टर्मिनलों को तार की छोटी पट्टियों पर मिलाप करें और उन्हें सीए गोंद की एक थपकी के साथ स्लॉट में सुरक्षित करें क्योंकि उन्हें लगातार खटखटाने के बाद ढीला नहीं होना चाहिए।

चरण 11: एलसीडी डिस्प्ले

टाइमिंग यूनिट के ढक्कन में एलसीडी स्क्रीन के लिए एक आयताकार कटआउट और "स्टार्ट" बटन के लिए एक छेद होता है। हमने डिस्प्ले को गर्म गोंद के थपेड़ों से तब तक सुरक्षित किया जब तक कि यह ढक्कन की सतह के साथ फ्लश नहीं हो गया और इसके बढ़ते अखरोट के साथ लाल बटन को ठीक कर दिया।

चरण 12: इलेक्ट्रॉनिक्स को तार देना

वायरिंग में विभिन्न घटकों को Arduino पर सही पिन में जोड़ना होता है। बॉक्स को सेटअप करने के लिए ऊपर संलग्न वायरिंग आरेख का पालन करें।

चरण 13: कोड अपलोड करना

ब्रैचिस्टोक्रोन परियोजना के लिए Arduino कोड नीचे संलग्न पाया जा सकता है। Arduino के प्रोग्रामिंग पोर्ट और पावर जैक तक आसान पहुंच के लिए इलेक्ट्रॉनिक्स डिब्बे में दो उद्घाटन हैं।

बॉक्स के ऊपर लगे लाल बटन का उपयोग टाइमर को चालू करने के लिए किया जाता है। एक बार जब मार्बल्स कर्व्स को लुढ़कते हैं और लिमिट स्विच को ट्रिगर करते हैं, जो कि नीचे रखा जाता है, तो समय क्रमिक रूप से रिकॉर्ड किया जाता है। तीनों गेंदों के हिट होने के बाद, एलसीडी स्क्रीन संबंधित वक्रों (ऊपर संलग्न चित्र) के साथ संरेखित परिणामों को प्रदर्शित करती है। एक बार जब आप परिणामों को नोट कर लेते हैं, यदि दूसरी रीडिंग की आवश्यकता होती है, तो टाइमर को रीफ्रेश करने के लिए बस मुख्य बटन को फिर से दबाएं और उसी प्रक्रिया को दोहराएं।

चरण 14: 3डी प्रिंट गाइड

सहायक दीवारों के शुरू होने से पहले 3 डी प्रिंटेड गाइड में 3 मिमी सामग्री का आधार था। इसलिए जब ऐक्रेलिक पैनलों को जगह में खिसकाया जाएगा तो पैनल और लकड़ी के फ्रेम के बीच एक अंतर होगा, जिससे पथ की स्थिरता कम हो जाएगी।

इसलिए गाइड को लकड़ी में 3 मिमी तक एम्बेड करने की आवश्यकता है। चूंकि हमारे पास राउटर नहीं था, इसलिए हम इसे एक स्थानीय वर्कशॉप में ले गए और इसे मिलिंग मशीन पर किया। थोड़ी सी सैंडिंग के बाद प्रिंट ठीक हो गए और हम इसे किनारे से लकड़ी के शिकंजे से सुरक्षित कर सकते थे। ऊपर संलग्न लकड़ी के फ्रेम पर 6 गाइड लगाने के लिए एक टेम्पलेट है।

चरण 15: स्टॉपर और टाइमिंग यूनिट को जोड़ना

चूंकि टाइमिंग मॉड्यूल एक अलग सिस्टम था, इसलिए हमने मैग्नेट का उपयोग करके एक त्वरित माउंटिंग और डिटेचिंग सिस्टम बनाने का फैसला किया। इस तरह से कोई भी आसानी से प्रोग्राम कर सकता है कि वह केवल यूनिट को निकाल सकता है। मैग्नेट की स्थिति को स्थानांतरित करने के लिए एक टेम्प्लेट बनाने के बजाय जिसे लकड़ी में एम्बेड करने की आवश्यकता होती है, हम बस उन्हें बॉक्स पर लगे लोगों से कनेक्ट करने देते हैं और फिर थोड़ा सा गोंद लगाते हैं और बॉक्स को लकड़ी के टुकड़े पर रख देते हैं। गोंद के निशान लकड़ी में स्थानांतरित हो गए जिससे हमें सटीक स्थानों में छेदों को जल्दी से ड्रिल करने में मदद मिली। अंत में 3 डी प्रिंटेड स्टॉपर संलग्न करें और टाइमिंग यूनिट को अच्छी तरह से फिट होना चाहिए फिर भी थोड़ा सा खींचने में सक्षम होना चाहिए

चरण 16: रिलीज तंत्र

रिलीज तंत्र सीधा है। सी सेक्शन को पिवट आर्म से कसकर जोड़ने के लिए एक नट और बोल्ट का उपयोग करें, जिससे वे एक सुरक्षित टुकड़ा बन जाएं। फिर ऊर्ध्वाधर लकड़ी के बीच में दो छेद ड्रिल करें और माउंट संलग्न करें। एक धुरी शाफ्ट को खिसकाएं और तंत्र पूरा हो गया है।

चरण 17: प्रयोग

अब जब मॉडल तैयार हो गया है तो कोई निम्नलिखित प्रयोग कर सकता है

प्रयोग १

सीधे पथ के ऐक्रेलिक पैनल, ब्राचिस्टोक्रोन वक्र, और खड़ी पथ (इस क्रम में सर्वोत्तम प्रभाव के लिए) में सावधानी से स्लाइड करें। फिर कुंडी को ऊपर खींचें और तीन गेंदों को वक्र के शीर्ष पर रखें और सुनिश्चित करें कि वे एक दूसरे के साथ पूरी तरह से संरेखित हैं। कुंडी नीचे करके उन्हें कसकर पकड़ें। टाइमिंग सिस्टम शुरू करने के लिए एक छात्र से गेंदों को छोड़ें और दूसरे को लाल बटन दबाएं। अंत में गेंदों को पथ पर लुढ़कते हुए देखें और टाइमिंग मॉड्यूल पर प्रदर्शित परिणामों का विश्लेषण करें। धीमी गति के फुटेज को रिकॉर्ड करने के लिए कैमरा सेट करना और भी रोमांचक है क्योंकि कोई फ्रेम दर फ्रेम दौड़ को देख सकता है।

प्रयोग २

पिछले प्रयोग की तरह ऐक्रेलिक पैनलों में स्लाइड करें लेकिन इस बार सभी पथों को ब्राचिस्टोनक्रोन वक्र होना चाहिए। एक छात्र को ध्यान से इस बार तीन गेंदों को अलग-अलग ऊंचाई पर पकड़ने के लिए कहें और गेंदों को छोड़ते ही लाल बटन को धक्का दें। आश्चर्यजनक क्षण देखें क्योंकि गेंदें फिनिश लाइन से पहले पूरी तरह से लाइन में आ जाती हैं और परिणामों के साथ टिप्पणियों की पुष्टि करती हैं।

चरण 18: निष्कर्ष

ब्रैचिस्टोक्रोन मॉडल बनाना उन जादुई तरीकों को देखने का एक व्यावहारिक तरीका है जिसमें विज्ञान कार्य करता है। प्रयोग न केवल देखने और आकर्षक बनाने के लिए मजेदार है बल्कि यह सीखने के पहलुओं का संश्लेषण भी प्रदान करता है। जबकि प्राथमिक रूप से हाई स्कूल के छात्रों के लिए एक परियोजना, व्यावहारिक और सैद्धांतिक दोनों रूप से, इस प्रदर्शन को छोटे बच्चों द्वारा आसानी से समझा जा सकता है और इसे एक सरल प्रस्तुति के रूप में दिखाया जा सकता है।

हम लोगों को चीजों को बनाने के लिए प्रोत्साहित करना चाहते हैं, चाहे वह सफल हो या असफल, क्योंकि दिन के अंत में एसटीईएम हमेशा मजेदार होता है! हैप्पी मेकिंग!

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