मैंडलब्रॉट और जूलिया ESP32 पर सेट: 4 कदम (चित्रों के साथ)

2024 लेखक: John Day | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-30 09:20

आप निश्चित रूप से भग्न जानते हैं, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध मैंडलब्रॉट सेट है।

यहाँ ESP32 पर खेलने का एक कार्यक्रम है। मैंने ESP32 को चुना क्योंकि मुझे लगता है कि यह एक मानक Arduino (उच्च घड़ी आवृत्ति: 240 मेगाहर्ट्ज) की तुलना में तेजी से गणना करेगा: गणना और प्रदर्शन के लिए एक सेकंड से डेढ़ सेकंड के बारे में।

कोड 480 x 320 TFT टच स्क्रीन पर प्रदर्शित होता है। यह कई पैरामीटर मानों के लिए मैंडेलब्रॉट और जूलिया सेट की गणना करता है, और आपको फ्रैक्टल पहलू (यानी प्रत्येक पैमाने पर समान संरचनाओं की उपस्थिति) को देखने के लिए रुचि के क्षेत्रों पर ज़ूम इन करने की अनुमति देता है। गणना की सीमित सटीकता के कारण ज़ूम स्तर सीमित है, लेकिन छवि खराब होने से पहले आधा दर्जन ज़ूम किए जा सकते हैं।

भग्नों की जादुई दुनिया का पता लगाने के लिए तैयार हो जाइए…

चरण 1: मैंडलब्रॉट और जूलिया सेट्स क्या हैं?

मैंडेलब्रॉट सेट का नाम बेनोइट मैंडेलब्रॉट (1924-2010) के नाम पर रखा गया है, जो एक फ्रांसीसी और अमेरिकी गणितज्ञ थे, जिन्होंने फ्रैक्टल ज्यामिति में अग्रणी काम किया था, जिसकी शुरुआत 19 वीं शताब्दी के अंत में, अन्य लोगों के बीच, पीनो, सिएरपिंस्की और जूलिया ने की थी।

भग्न वस्तुएं क्या हैं?

प्रकृति की अनियमितताएं, जो अराजक लग सकती हैं, जैसे कि समुद्र तट की रेखा, बादलों का आकार, एक पेड़, वास्तव में बदलते पैमाने पर एक बहुत ही जटिल ज्यामिति की अभिव्यक्ति है। इस संदर्भ में, भिन्नात्मक आयाम की धारणा सामान्य यूक्लिडियन आयाम (जो हमेशा एक पूर्णांक होता है) की जगह लेती है!

एक भग्न वस्तु ऐसी होती है कि इसका कोई भी भाग पूरे के समान होता है (इसे स्व-समानता कहा जाता है): इसकी संरचना पैमाने परिवर्तन से अपरिवर्तनीय होती है।

शब्द "फ्रैक्टल" 1974 में बेनोइट मंडेलब्रॉट द्वारा लैटिन मूल फ्रैक्टस से बनाया गया एक नवशास्त्र है, जिसका अर्थ है "टूटा हुआ", "अनियमित"। यह संज्ञा और विशेषण दोनों है। कई प्राकृतिक घटनाएं - जैसे समुद्र तट की रूपरेखा या रोमनस्को गोभी की उपस्थिति (चित्र देखें) - अनुमानित भग्न आकार हैं।

बेनोइट मंडेलब्रॉट का करियर कुछ हद तक असामान्य था: लिली विश्वविद्यालय (फ्रांस) में पढ़ाने के बाद, उन्होंने आईबीएम में एक पद ग्रहण किया जहां वे जल्दी से आईबीएम फेलो बन गए, जिससे उन्हें अपने वैज्ञानिक अध्ययन के लिए एक बड़ी स्वतंत्रता मिली। 1980 के दशक की शुरुआत में, आईबीएम छोड़ने के बाद, वह हार्वर्ड में प्रोफेसर बन गए, लेकिन येल में स्थायी रूप से बस गए।

1960 और 1970 के दशक की शुरुआत में उनके काम ने उन्हें "फ्रैक्टल ऑब्जेक्ट्स" नामक एक प्रसिद्ध लेख प्रकाशित करने के लिए प्रेरित किया, जिसमें उन्होंने दिखाया कि ये वस्तुएं, जिन्हें गणितीय समुदाय के एक बड़े हिस्से द्वारा मात्र जिज्ञासा के रूप में माना जाता है, प्रकृति में हर जगह पाई जाती हैं। उन्होंने भौतिकी, जल विज्ञान, वित्त, मौसम विज्ञान, भूगोल, भूविज्ञान, धातु विज्ञान… जैसे विभिन्न क्षेत्रों में बहुत सारे उदाहरण दिए।

मैंडलब्रॉट सेट क्या है?

शुरू करने के लिए, मान लें कि यह एक प्रोग्राम द्वारा बनाई गई एक अच्छी ड्राइंग है। और यह कार्यक्रम काफी सरल है। उन्हें उत्पन्न करने के लिए कई कंप्यूटर-जनित चित्र और कई कंप्यूटर सॉफ़्टवेयर मौजूद हैं। तो इसमें ऐसा क्या खास है? सबसे पहले, मंडेलब्रॉट सेट योजना का एक सबसेट है, अंकों का एक संग्रह। इसमें क्षेत्र होते हैं, लेकिन चिकनी वक्र, तंतु, बिंदु जहां से कई शाखाएं निकलती हैं, और अन्य चीजें भी शामिल हैं। दूसरा: यह वास्तव में आकर्षक है और इसका एक बहुत ही रोचक इतिहास है।

२०वीं शताब्दी की शुरुआत में, फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फतो और गैस्टन जूलिया ने गणित का एक उप-क्षेत्र विकसित किया जिसे होलोमोर्फिक गतिकी कहा जाता है। वे उपलब्ध कुछ सरल सूत्रों का उपयोग करते हुए, संख्याओं पर कार्य करते हुए, विशेष कार्यों में रुचि रखते थे। विचाराधीन संख्याएँ सम्मिश्र संख्याएँ हैं, मात्राएँ जो दो निर्देशांकों द्वारा निरूपित होती हैं (बिल्कुल एक समतल के बिंदुओं की तरह) जिन्हें वास्तविक और काल्पनिक भाग कहा जाता है। उनका आविष्कार १६वीं शताब्दी में गणितज्ञों द्वारा बहुपदों की जड़ों और समीकरणों के समाधान को खोजने में मदद करने के लिए किया गया था, लेकिन गणित और भौतिक विज्ञान में व्यापक और गहरे अनुप्रयोग पाए गए हैं। हम 2 जटिल संख्याओं को जोड़ सकते हैं, उन्हें गुणा या विभाजित कर सकते हैं, और कई अन्य चीजें कर सकते हैं। फतो और जूलिया ने कुछ गतिशील प्रणालियों के गुणों का अध्ययन किया जहां एक जटिल संख्या एक साधारण नियम के अनुसार बार-बार दोहराई जाती है: यहां जटिल गणित की कोई आवश्यकता नहीं है (इसलिए, आप पहली छवि को भूल सकते हैं…) उन्होंने इन प्रणालियों की समृद्धि का खुलासा किया, सेट को परिभाषित किया जिसे अब जूलिया के सेट कहा जाता है, और उनकी आत्म-समानता का अध्ययन किया, इसलिए भग्न पहलू …

संस्थापकों के काम के बाद, यह डोमेन गुमनामी में गिर गया। जब कंप्यूटर आए, तो उन्होंने बहुत सारी गणितीय घटनाओं का पता लगाने में मदद की, जिसमें गहन कंप्यूटिंग की आवश्यकता होती है, जिसमें जूलिया और फतो द्वारा खोले गए डोमेन शामिल हैं। इस प्रकार, जब बेनोइट मैंडेलब्रॉट ने 1980 के दशक में आईबीएम कंप्यूटरों का उपयोग करने के लिए होलोमोर्फिक गतिकी से संबंधित एक निश्चित गणितीय सेट का प्रतिनिधित्व करने का फैसला किया।, उन्होंने एक बहुत ही आकर्षक और बहुत ही दिलचस्प चित्र प्राप्त किया (पिछले भाग की पहली तस्वीर)।

मैंडलब्रॉट सेट क्या दर्शाता है? मूल रूप से, छवि के प्रत्येक बिंदु से जुड़ी एक अंतर्निहित गतिशील प्रणाली होती है। बिंदु के निर्देशांक एक समायोज्य पैरामीटर के रूप में कार्य करते हैं। विभिन्न बिंदु जूलिया के विभिन्न सेटों के अनुरूप हैं और उनके व्यवहार के आधार पर, हम एक विशेष तरीके से बिंदु को रंगने का निर्णय ले सकते हैं। मैंडलब्रॉट सेट उन मापदंडों का सेट है जिनके लिए सिस्टम की एक निश्चित संपत्ति होती है।

मैंडलब्रॉट और जूलिया सेट की गणना कैसे करें?

हमें इन समुच्चयों की गणना करने के तरीके के बारे में थोड़ा और विस्तार से जाना होगा। मंडेलब्रॉट और जूलिया सेट की गणना एक साधारण सूत्र के बार-बार होने वाले पुनरावृत्ति द्वारा की जाती है, हमारे मामले में z^n+c। z एक सम्मिश्र संख्या है जो डिस्प्ले पर किसी बिंदु के निर्देशांकों का प्रतिनिधित्व करती है। एक पूर्णांक घातांक है, इसलिए z^n, z को n बार से गुणा करने के बराबर है, और c एक स्थिरांक है।

मैंडेलब्रॉट सेट के लिए, प्रदर्शन क्षेत्र के सभी बिंदुओं के लिए, हम z से 0 को प्रारंभ करते हैं। स्थिरांक c को माना बिंदु के निर्देशांक के मान के बराबर लिया जाता है और सूत्र को पुनरावृत्त किया जाता है।

यहां नियम है: एक बिंदु सेट का हिस्सा है यदि इस सूत्र का बार-बार आवेदन अलग नहीं होता है (यानी बड़ी संख्या की गणना नहीं करता है)। यह गणितीय रूप से दिखाया जा सकता है कि यदि सूत्र का परिणाम 2 से अधिक हो जाता है (मापांक में क्योंकि हम जटिल संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं) तो पुनरावृत्ति अलग हो जाएगी। तो जल्दी से सुंदर रंग प्राप्त करने के लिए, हम पुनरावृत्ति को रोकते हैं जब परिणाम का मापांक 2 से अधिक हो जाता है और रंग उस विशेष पुनरावृत्ति की संख्या से मेल खाता है। यदि पुनरावृत्तियों की संख्या बहुत बड़ी हो जाती है (इसलिए यदि बिंदु मैंडलब्रॉट सेट का हिस्सा है) तो हम दी गई सीमा के बाद रुक जाते हैं और काले रंग को इस बिंदु से जोड़ देते हैं।

जूलिया सेट की गणना एक समान तरीके से की जाती है, लेकिन गणना 0 पर शुरू नहीं की जाती है, लेकिन माना बिंदु के निर्देशांक के मूल्य पर और निरंतर सी को उपयोगकर्ता द्वारा चुना जाता है और पूरी छवि के लिए समान रहता है।

बस इतना ही, मुझे आशा है कि यह स्पष्ट है… ये स्पष्टीकरण उपयोग के लिए बाकी निर्देशों को बेहतर ढंग से समझने में मदद करते हैं।

चरण 2: आपको क्या चाहिए?

सामग्री का बिल:

• 1 ईएसपी32 बोर्ड
• टचस्क्रीन और स्टाइलस के साथ 1 टीएफटी डिस्प्ले
• 1 ब्रेडबोर्ड और तार

बस, इतना ही। 10 अमरीकी डालर के तहत कुल लागत।

एस्प्रेसिफ का ESP32 240 मेगाहर्ट्ज पर चलने वाला एक डुअल कोर माइक्रोकंट्रोलर है, जो इसे तेज और जटिल दोहराव वाले कंप्यूटिंग के लिए एक अच्छा उम्मीदवार बनाता है। इसमें वाईफाई और ब्लूटूथ क्षमताएं हैं जिनका मैं इस परियोजना में उपयोग नहीं करता हूं।

निर्देश सेट 32 बिट आकार का है। 16 और 32 बिट चर के साथ कंप्यूटिंग बहुत तेज है जो सटीक गणना को सक्षम बनाता है, जो ज़ूमिंग उद्देश्य के लिए मौलिक है। इस एप्लिकेशन में, 320 x 240 डिस्प्ले के लिए, एक छवि मोटे तौर पर 75, 000 पिक्सल से बनी होती है, जिनमें से प्रत्येक की गणना एक पुनरावृत्ति प्रक्रिया का उपयोग करके की जाती है जो 100 बार तक चल सकती है। इससे 7, 500, 000 एकात्मक गणना हो सकती है, जिनमें से प्रत्येक एक घातांक है, यानी कई गुणा…

तो यहाँ गणना गति आवश्यक है, लेकिन सटीकता मौलिक है। आप जितना अधिक ज़ूम करेंगे, सेट के भाग का आकार उतना ही छोटा होगा जिसे प्रदर्शित किया जाना है। इसका मतलब है कि छवि के 320 x 240 पिक्सेल में से प्रत्येक एक ऐसी संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो अपने पड़ोसियों के बहुत करीब है। जैसे-जैसे ज़ूम बढ़ता है, यह निकटता बढ़ती जाती है।

लेकिन भग्न छवियों में यह गुण होता है कि वे स्केलिंग द्वारा अपरिवर्तित रहते हैं। तो छोटे विवरण हर जगह और किसी भी स्केलिंग कारक के लिए दिखाई देते हैं। मैंडेलब्रॉट सेट का मुख्य आकार, जैसा कि ऊपर चित्र में डिस्प्ले पर देखा जा सकता है, कहीं और बहुत छोटे संस्करण में पाया जा सकता है, और यदि आप पर्याप्त रूप से ज़ूम करते हैं तो प्रदर्शित किया जा सकता है (वीडियो पर देखें)। लेकिन अगर दो पड़ोसी पिक्सल के बीच समन्वय अंतर ESP32 को व्यवहार में उनके अंतर को पकड़ने में सक्षम करने के लिए बहुत छोटा है, तो सटीकता की कमी के कारण, फ्रैक्टल प्रभाव नहीं दिखाया जा सकता है …

अच्छी सटीकता प्राप्त करने के लिए, कोड फ़्लोट्स का उपयोग करता है, जिन्हें ESP32 द्वारा 32 बिट्स में कोडित किया जाता है। यह 6 या 7 जूमिंग स्तर तक सक्षम बनाता है। दोहरी सटीकता (64 बिट) का उपयोग करने से यह ज़ूमिंग गहराई बढ़ जाती, धीमी गणना की कीमत पर, इस प्रकार 2 छवियों के बीच अधिक समय।

इसे डबल परिशुद्धता बनाने के लिए, कोड में "फ्लोट" के सभी अवसरों को "डबल" में बदलें और कोड चलाएं। मैंने हाल ही में एक बड़े डिस्प्ले (HVGA 480 x 320 पिक्सल) के लिए एक संस्करण बनाया है: छवि प्रदर्शित करने के लिए 16 बिट फ़्लोट में 3 सेकंड लगते हैं, और डबल्स में 10 से 20 सेकंड (3 से 6 गुना अधिक) लगते हैं, लेकिन 15 से अधिक ज़ूम स्तरों का समर्थन करते हैं. इस अध्याय की तीसरी छवि मेंडलब्रॉट सेट के सबसे दाहिने हिस्से में ज़ूम स्तर 14 को दिखाती है।

डिस्प्ले को कैसे कनेक्ट करें:

मैंने एक SPI डिस्प्ले का उपयोग किया है, और पैरामीटर User_Setup.h फ़ाइल (TFT_eSPI लाइब्रेरी फ़ोल्डर में) में सेट हैं:

• ड्राइवर: अपने डिस्प्ले के लिए सही ड्राइवर को अनकम्मेंट करें। मेरा था #परिभाषित RPI_ILI9486_DRIVER

• पिन नंबर: फाइल के ESP32 सेक्शन में जाएं और चुनें

  • #define TFT_MISO 19
  • #परिभाषित करें TFT_MOSI 23
  • #परिभाषित करें TFT_SCLK 18
  • #define TFT_CS 15 // चिप सेलेक्ट कंट्रोल पिन
  • #define TFT_DC 2 // डेटा कमांड कंट्रोल पिन
  • #define TFT_RST 4 // पिन रीसेट करें (RST पिन से कनेक्ट हो सकता है)
  • #define TOUCH_CS 22 // टच स्क्रीन के चिप सेलेक्ट पिन (T_CS)
• फ़ॉन्ट्स: उन्हें बदलने की आवश्यकता नहीं है

• अन्य विकल्प: मैंने निम्नलिखित का चयन किया

  • #परिभाषित SPI_FREQUENCY 20000000
  • #परिभाषित SPI_READ_FREQUENCY 20000000
  • #परिभाषित SPI_TOUCH_FREQUENCY 2500000

फ़ाइल की अन्य सभी पंक्तियों पर टिप्पणी की गई है।

प्रदर्शन की स्पर्श क्षमता को कैलिब्रेट करें

यदि स्क्रीन भाग या बटन का चयन सटीक नहीं है, या पूरी तरह से गलत भी है, तो TFT_eSPI लाइब्रेरी से टच कैलिब्रेशन स्केच चलाएं और उस कोड को कॉपी / पेस्ट करें जो वह प्रदान करता है (प्रदर्शन अभिविन्यास के लिए सही मान का उपयोग करना सुनिश्चित करें), 1 या 3 लैंडस्केप के लिए)।

चरण 3: ESP32 कार्यक्रम

कोड 320 x 240 TFT टच स्क्रीन पर प्रदर्शित होता है, और TFT_eSPI लाइब्रेरी का उपयोग करता है। यह कई घातांक मानों के लिए मैंडेलब्रॉट और जूलिया सेट की गणना करता है, और आपको फ्रैक्टल पहलू (यानी प्रत्येक पैमाने पर समान संरचनाओं की उपस्थिति) को देखने के लिए रुचि के क्षेत्रों पर ज़ूम इन करने की अनुमति देता है।

संलग्न कोड 480 x 320 डिस्प्ले के लिए एक संस्करण है। इस संस्करण में, आप डिस्प्ले के आकार (चौड़ाई और ऊंचाई पिक्सल में) को बदल सकते हैं। TFT_eSPI लाइब्रेरी एक सेटअप फ़ाइल (संलग्न) में कनेक्शन को परिभाषित करती है जिसे लाइब्रेरी की निर्देशिका में रखा जाना चाहिए।

कोड ऑपरेटिंग निर्देश प्रदर्शित करके शुरू होता है (चित्र और वीडियो देखें)।

अधिकांश स्क्रीन छवियों को प्रदर्शित करने के लिए आरक्षित है, स्क्रीन के दाईं ओर टच बटन उपलब्ध हैं:

• आर: एक "रीसेट" करता है, i. इ। छवि को उसके अधिकतम पैमाने पर प्रदर्शित करता है,
• यू: "पूर्ववत करें" आपको पिछले चरण पर वापस जाने की अनुमति देता है (यदि ज़ूम किया गया क्षेत्र दिलचस्प नहीं है, तो आप ज़ूम इन करने के लिए छवि का दूसरा भाग चुन सकते हैं),
• एम या जे: आपको मंडेलब्रॉट के सेट से जूलिया के सेट पर स्विच करने की अनुमति देता है और इसके विपरीत।

कुछ कुंजियों के लेबल संदर्भ के अनुसार बदलते हैं: वे उस फ़ंक्शन को प्रदर्शित करते हैं जिसे दबाए जाने पर निष्पादित किया जाएगा। इसलिए यदि आप वर्तमान में मैंडलब्रॉट सेट प्रदर्शित करते हैं, तो एम/जे कुंजी जे प्रदर्शित करती है क्योंकि यदि आप इसे दबाते हैं तो आप जूलिया के सेट (और इसके विपरीत) प्रदर्शित करेंगे।

वही रंग पैलेट की पसंद पर लागू होता है। हम हरे रंग के पैलेट से शुरू करते हैं। कुंजी अगले पैलेट (नीला वाला) का प्रस्ताव करती है। पैलेट हैं: लाल, हरा, नीला, ग्रे, पैलेट 1, पैलेट 2 और वापस लाल। अंतिम दो बहुरंगी पैलेट परीक्षण हैं जो अधिक कंट्रास्ट प्रदान करते हैं, जिससे कुछ विवरणों को बेहतर ढंग से देखने की अनुमति मिलती है।

एक संख्या के साथ कुंजी आपको 2 से 7 (और 2 से पीछे) के लूप में घातांक n चुनने की अनुमति देती है। उसी भावना में, यह 3 प्रदर्शित करता है यदि आप वर्तमान में 2 पर हैं …

अंत में, जूलिया सेट प्रदर्शित करते समय, निरंतर c का मान चुनना आवश्यक है: C कुंजी आपको ऐसा करने की अनुमति देती है, एक चयनकर्ता के लिए धन्यवाद (दूसरी तस्वीर देखें)। इस स्थिरांक का मान सेट के साथ प्रदर्शित होता है।

छवि पर क्लिक करने से चयनित बिंदु के आसपास ज़ूम होता है। स्पर्श किए गए बिंदु पर एक छोटा वृत्त प्रदर्शित होता है और एक आयत सेट के ज़ूम किए गए क्षेत्र को हाइलाइट करता है।

तीसरी तस्वीर से पता चलता है कि 320 x 240 पिक्सल के लिए कंप्यूटिंग समय 0.8 और 1.2 सेकंड के बीच रहता है, जो इसे ज़ूम और डिस्प्ले के लिए आरामदायक बनाता है। यह 480 x 320 पिक्सल के लिए 3 सेकंड तक पहुंचता है, लेकिन अधिक विवरण प्रदान करता है।

चरण 4: कुछ चित्रों की व्याख्या…

सबसे बड़ी तस्वीर प्रसिद्ध मंडेलब्रॉट सेट है। इस छवि में प्रयुक्त सम्मिश्र संख्याएं -2.1 से +0.7 तक एब्सिस्सा में, और -1.2 से 1.2 के क्रम में होती हैं। यदि आप इस पहली छवि के बाएं हिस्से पर ज़ूम करते हैं, तो संभावना है कि आपको अंततः दूसरा मिल जाएगा, जो सेट के सबसे बाएं सिरे में पाए जाने वाले मूल सेट का एक छोटा संस्करण प्रदर्शित करता है। इन दोनों छवियों के लिए, एक्सपोनेंट ('एन') 2 के बराबर है: यही वह मान है जो आम तौर पर मंडेलब्रॉट सेट प्रदर्शित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

यदि आप इस मान को 3 में बदलते हैं (केवल 3 कहने वाली कुंजी पर क्लिक करें), तो आपको तीसरी छवि मिलती है। एक स्पष्ट अंतर समरूपता कारक है: n=2 एक अक्षीय समरूपता देता है (यानी सेट मध्य क्षैतिज अक्ष के खिलाफ सममित है), लेकिन n=3 के साथ छवि 120 ° (360 ° का एक तिहाई, रोटेशन) के रोटेशन से अपरिवर्तनीय हो जाती है। 3 का समरूपता कारक)। और यह अपने भग्न गुणों को बरकरार रखता है, जिसे आप काले आकार के किनारों पर ज़ूम करके सत्यापित कर सकते हैं।

चौथी छवि एक जूलिया सेट है जिसे एब्सिस्सा में 0.414 के बराबर गुणांक मान और क्रम में 0.09 के चयन के बाद प्राप्त किया गया है। लाल पैलेट चुना जाता है, जैसा कि दाईं ओर हरे रंग की कुंजी द्वारा देखा जा सकता है (हरा, चुना जाने वाला अगला रंग होने के नाते)। पांचवीं छवि उसी तरह का जूलिया सेट प्रदर्शित करती है, जो स्थिरांक (0.358) का एक उच्च काल्पनिक हिस्सा है।

मुझे आशा है कि आप इस कार्यक्रम के साथ खेलने का आनंद लेंगे और आप अच्छे भग्न चित्र प्रदर्शित करने में सक्षम होंगे। मंडेलब्रॉट और जूलिया सेट का पता लगाने में संकोच न करें, और पैलेट के साथ खेलें: वे कुछ विवरणों की पहचान करने में मदद करते हैं जो साधारण मोनोक्रोम वाले के साथ दिखाई नहीं दे सकते हैं। आप कुछ भग्न परिदृश्य भी खोज सकते हैं जो आपके पहले कभी किसी ने नहीं देखे हैं …

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मेड विद मैथ प्रतियोगिता में द्वितीय पुरस्कार